РОЗДІЛ 18. ВИЗНАЧЕННЯ СТРАХОВИХ ТАРИФІВ 18.1. МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ ОБЧИСЛЕННЯ ТАРИФНИХ СТАВОК

ЧАСТИНА
VII. ОСНОВИ ФІНАНСОВОЇ ДІЯЛЬНОСТІ
СТРАХОВИКА

РОЗДІЛ 18.
ВИЗНАЧЕННЯ СТРАХОВИХ ТАРИФІВ 18.1. МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ
ОБЧИСЛЕННЯ ТАРИФНИХ СТАВОК

Поняття
випадкової величини. Страхування
виникає там, де іс­нують явища і процеси
випадкової природи. Тому більшість
величин, що розглядаються у страхуванні,
є випадковими величинами. З мате­матичного
погляду випадкова величина — це змінна,
яка може набу­вати певних значень із
певною ймовірністю.

Випадкова
величина повністю описується своєю
функцією розпо­ділу. Функцією розподілу
випадкової величини £, (або
інтегральною функцією) називається
функція, яка кожному числу х ставить у
відпо­відність імовірність того, що
набуде значення, меншого за х:

Функція
Fs(x)
визначена при всіх значеннях аргументу
х і має такі властивості:

якщо
х < у, то ;

;

;

.

Серед
випадкових величин можна виокремити два
основні типи — дискретні та абсолютно
неперервні.

Дискретною
називається випадкова величина, яка
може набувати скінченної або зліченної
множини значень. Дискретними є,
наприклад, такі величини: кількість
позовів (страхових випадків) у поточному
ро­ці або кількість договорів, що їх
уклав страховик.

Якщо
функцію розподілу (x)
випадкової величини S,
можна пода­ти у вигляді

де
—
деяка невід’ємна функція, то випадкова
величина назива­ється абсолютно
неперервною, а функція
—
щільністю розподілу випадкової
величини . Абсолютно неперервними можна
вважати, на­приклад, величину майбутніх
прибутків страховика або тривалість очі­кування
між двома послідовними страховими
випадками.

Числові
характеристики випадкових величин. У
страховій пра­ктиці, як правило, нас
цікавлять не самі випадкові величини, а
деякі їх числові макрохарактеристики.
Найважливішими з них є математичне
сподівання та дисперсія.

Математичне
сподівання (його називають також
середнім, або очі­куваним, значенням) —
це середньозважене за ймовірністю
значення випадкової величини. Для
дискретних випадкових величин математи­чне
сподівання обчислюється за формулою

де
хi —
значення, яких набуває випадкова
величина; рi,
— імовірності їх реалізації. Для
абсолютно неперервних випадкових
величин мате­матичне сподівання
подається так:

p,
— щільність випадкової величини ξ,.
Якщо випадкова величина невід’ємна (0 ,
математичне сподівання можна обчислити
за фор­мулою

Для
будь-яких сталих a,
b та
випадкових величин ξ, ζ,
виконуються такі властивості
математичного сподівання:

M[a]
= a;

M[bξ]
= b M[ξ];

M[ξ+ζ]
= M[ζ]
+ M[ξ].

Дисперсія
характеризує відхилення
випадкової величини
ξ
від її
середнього значення
й обчислюється
як математичне
сподівання квад­рата
відхилення цієї
величини від
її математичного
сподівання:

D[ξ]
= M[(ξ
— M[ξ])²]

Дисперсія
задовольняє такі співвідношення:

D[ξ]
= M(ξ ²)—
M[ξ])²

D[a]=0

D[b
ξ]
= b²D[ξ]

D[ξ+a]=
D[ξ]

де
a, b
— довільні сталі, ξ — випадкова
величина. Якщо випадкова ве­личина
невід’ємна, дисперсію можна обчислити за
формулою:

D[ξ]=
2

Поряд
з дисперсією часто використовують
похідні поняття — стан­дартне
відхилення та коефіцієнт варіації.
Стандартним, або середньо-квадратичним,
відхиленням називають корінь із
дисперсії:

Відношення
стандартного відхилення випадкової
величини ξ до
модуля математичного сподівання
називається коефіцієнтом варіації:

Для
випадкової величини ξ;
квантилем рівня α
(або α
-квантилем) називається величина Xa,
яка при заданому значенні довірчої
ймовір­ності а є коренем рівняння

Незалежність
випадкових величин. Випадкові величини ξ
та ζ
називаються незалежними, якщо при будь-яких
значеннях а та b ймо­вірність події Р{ ξ < a,
ζ < b} є добутком імовірностей подій Р {
ξ <a
} та Р {ζ < b }:

Р{
ξ < a,
ζ < b}=
Р { ξ <a
}х Р {ζ < b }

Якщо
випадкові величини не задовольняють
наведену щойно умо­ву, то вони
називаються залежними. Прикладом
залежних випадкових величин є кількість
позовів та сумарна величина виплат.
Відсутність позовів означає
відсутність виплат. Нехай η
— кількість позовів (кіль­кість виплат)
у поточному році, ξ
— відповідна сума виплат у страхо­вика.
Нехай з імовірністю 10 % протягом року
виплат у страховика немає. Цей факт
можна записати кількома способами:

Р{ξ
= 0} = Р{ξ < 1 грн.} = 10 %;

P{η=0}=P{η<1}=10%;

Р{η<1, ξ < 1 грн.} = 10%.

Отже,
Р{η<1, ξ < 1 грн.}> Р{ξ < 1 грн.} P{η<1}.
Це означає, що випадкові величини ζ
та ξ незалежні. Незалежними
випадковими величи­нами можуть
уважатись, наприклад, кількості позовів
з різних видів страхування.

Наведемо
дві важливі властивості. Якщо випадкові
величини ζ та ξ незалежні, то для них
виконуються такі співвідношення:

М[ζξ]
= M[ζ] M[ζξ]

D[ζ+ξ]
= D[ξ]
+ D[ζ].

Статистичні
оцінки. Часто ми не маємо інформації про
реальний розподіл випадкової величини ξ
але маємо деяку сукупність спосте­режень,
у яких вона набуває значень х1,x2,
x3, …. хn.
Ця сукупність зна­чень називається
вибіркою, а величини

та

відповідно
вибірковим (емпіричним) середнім та
незсуненою вибірко­вою (емпіричною)
дисперсією. Вибіркове середнє
використовують для оцінювання
математичного сподівання:

,

незсунена
вибіркова дисперсія є оцінкою дисперсії
випадкової вели­чини:

.

Принципи
обчислення тарифних ставок. В актуарніи
практиці використовуються
найрізноманітніші методи обчислення
тарифних ставок. Усі вони базуються на
принципі еквівалентності фінансових зо­бов’язань
страхувальника і страховика. Але
парадокс полягає в тому, що не існує
єдиної точки зору на те, як тлумачити цей
загальновизна­ний принцип страхування.
Розглянемо найпоширеніші підходи до
трак­тування принципу еквівалентності.

Еквівалентність
фінансових зобов’язань як
еквівалентність очікуваних значень.
Зобов’язання страхувальників полягають
у спла­ті страхових премій. Зобов’язання
страховика виражаються в оплаті

позовів
страхувальника. Нехай р означає
величину зібраних страхови­ком премій, Y—
величину сумарних виплат страховика.
Природно вва­жати, що справедливою
платою за ризик страховика є очікуване
зна­чення (середнє) випадкової величини
Y:

p=M[Y].

У
такому вигляді принцип еквівалентності
доволі часто викорис­товується у
страхуванні життя та деяких інших
галузях масового стра­хування.

Еквівалентність
зобов’язань з погляду теорії розорення.
Зо­бов’язання страхувальників мають
безумовний характер. Купуючи по­ліс,
страхувальник звільняє себе від ризику
несподіваних витрат. Ви­трати
страховика, навпаки, непередбачувані.
Страховик приймає на себе ризик, який
полягає в тому, що його виплати будуть
значно біль­шими за М [Y]. Тому страховик
вправі вимагати додаткової плати за
можливі збитки — ризикову надбавку L.
Із цього погляду справджу­ється
співвідношення

р=
M[Y] +L.

Постає
запитання: якими мають бути величини
ризикової надбавки L та страхової премії
р Щоб відповісти на нього, доцільно
звернутися до теорії розорення.

Факт
розорення страховика описується
співвідношенням U
+ р < Y, де U—
величина власних коштів страховика.
Відповідно, імовірність розорення
дорівнює Р{ U
+ р < Y}.

Отже,
якщо страховик намагається досягнути
ймовірності розо­рення а, то він має
забезпечити величину страхових премій р
такою, щоб виконувалося співвідношення:

P{U+pα.

Таке
розуміння принципу еквівалентності є
найпоширенішим у сьогоденній практиці.
Основним недоліком цього підходу є
досить ви­сока абстрактність поняття «імовірність
розорення». Яка ймовірність розорення
страховика вважається достатньою — 10 %, 1
% чи 0,1 %? На це запитання дуже важко дати
аргументовану відповідь. Зменшен­ня
ймовірності розорення з 2 % до 0,2 % для
страховика не має прин­ципового
значення, хоча може призвести до
необхідності збільшити ризикову
надбавку в півтора раза.

Принцип
еквівалентності зобов’язань у термінах
теорії розорення має математично
обгрунтовану форму, але застосування
його в актуа­рніи практиці може
призводити до значних коливань
розрахункових величин.

Еквівалентність
зобов’язань з погляду теорії корисності.

Нині
дедалі популярнішим стає підхід до
формалізації принципу еквівален­тності
фінансових зобов’язань страхувальника і
страховика, що грун­тується на теорії
корисності.

Основним
поняттям цієї теорії є функція
корисності. Функцією ко­рисності
називають функцію u
(х), яка має такі властивості:

функція
u зростаюча — u(х)
> u(у)
при х > у;

функція
u
задовольняє нерівність Єнсена М [u(х)]
u
(М[х]);

функція
u задовольняє умову нульової корисності
u (0) = 0. Функція корисності визначає
ступінь важливості для страховика
певних грошових сум. Вона має суб’єктивний
характер, включаючи в себе
психологічний компонент.

За
допомогою функції корисності принцип
еквівалентності можна записати так:

M[u
(U+p-Y)]=u (U).

Отже,
очікувана корисність капіталу
страховика після прийняття ризиків не
повинна зменшитися порівняно з
корисністю початкового капіталу. На
практиці часто застосовують
експоненціальну u(х)
= 1 – е^—ax
та квадратичну u(х) = ах — х² функції
корисності.

Головна
проблема у разі практичного
застосування принципу екві­валентності
в термінах теорії корисності —
відшукання адекватної функції
корисності.