РОЗДІЛ 18. ВИЗНАЧЕННЯ СТРАХОВИХ ТАРИФІВ 18.1. МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ ОБЧИСЛЕННЯ ТАРИФНИХ СТАВОК

РОЗДІЛ 18. ВИЗНАЧЕННЯ СТРАХОВИХ ТАРИФІВ 18.1. МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ ОБЧИСЛЕННЯ ТАРИФНИХ СТАВОК

147
0

ЧАСТИНА
VII. ОСНОВИ ФІНАНСОВОЇ ДІЯЛЬНОСТІ
СТРАХОВИКА

РОЗДІЛ 18.
ВИЗНАЧЕННЯ СТРАХОВИХ ТАРИФІВ
18.1. МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ
ОБЧИСЛЕННЯ ТАРИФНИХ СТАВОК

Поняття
випадкової величини. Страхування
виникає там, де іс­нують явища і процеси
випадкової природи. Тому більшість
величин, що розглядаються у страхуванні,
є випадковими величинами. З мате­матичного
погляду випадкова величина — це змінна,
яка може набу­вати певних значень із
певною ймовірністю.

Випадкова
величина повністю описується своєю
функцією розпо­ділу. Функцією розподілу
випадкової величини £, (або
інтегральною функцією) називається
функція, яка кожному числу х ставить у
відпо­відність імовірність того, що
набуде значення, меншого за х:

Функція
Fs(x)
визначена при всіх значеннях аргументу
х і має такі властивості:

якщо
х < у, то ;

;

;

.

Серед
випадкових величин можна виокремити два
основні типи — дискретні та абсолютно
неперервні.

Дискретною
називається випадкова величина, яка
може набувати скінченної або зліченної
множини значень. Дискретними є,
наприклад, такі величини: кількість
позовів (страхових випадків) у поточному
ро­ці або кількість договорів, що їх
уклав страховик.

Якщо
функцію розподілу (x)
випадкової величини S,
можна пода­ти у вигляді

де

деяка невід’ємна функція, то випадкова
величина назива­ється абсолютно
неперервною, а функція

щільністю розподілу випадкової
величини . Абсолютно неперервними можна
вважати, на­приклад, величину майбутніх
прибутків страховика або тривалість очі­кування
між двома послідовними страховими
випадками.

Числові
характеристики випадкових величин. У
страховій пра­ктиці, як правило, нас
цікавлять не самі випадкові величини, а
деякі їх числові макрохарактеристики.
Найважливішими з них є математичне
сподівання та дисперсія.

Математичне
сподівання (його називають також
середнім, або очі­куваним, значенням) —
це середньозважене за ймовірністю
значення випадкової величини. Для
дискретних випадкових величин математи­чне
сподівання обчислюється за формулою

де
хi
значення, яких набуває випадкова
величина; рi,
— імовірності їх реалізації. Для
абсолютно неперервних випадкових
величин мате­матичне сподівання
подається так:


p,
— щільність випадкової величини ξ,.
Якщо випадкова величина невід’ємна (0 ,
математичне сподівання можна обчислити
за фор­мулою

Для
будь-яких сталих a,
b та
випадкових величин ξ, ζ,
виконуються такі властивості
математичного сподівання:

M[a]
= a;

M[bξ]
= b M[
ξ];

M[ξ+ζ]
= M[
ζ]
+ M[
ξ].

Дисперсія
характеризує відхилення
випадкової величини
ξ
від її
середнього значення
й обчислюється
як математичне
сподівання квад­рата
відхилення цієї
величини від
її математичного
сподівання:

D[ξ]
= M[(
ξ
— M[
ξ])2]

Дисперсія
задовольняє такі співвідношення:

D[ξ]
= M(ξ 2)—
M[ξ])2

D[a]=0

D[b
ξ]
= b2
D[ξ]

D[ξ+a]=
D[
ξ]

де
a, b
— довільні сталі, ξ — випадкова
величина. Якщо випадкова ве­личина
невід’ємна, дисперсію можна обчислити за
формулою:

D[ξ]=
2

Поряд
з дисперсією часто використовують
похідні поняття — стан­дартне
відхилення та коефіцієнт варіації.
Стандартним, або середньо-квадратичним,
відхиленням називають корінь із
дисперсії:

Відношення
стандартного відхилення випадкової
величини ξ до
модуля математичного сподівання
називається коефіцієнтом варіації:

Для
випадкової величини
ξ;
квантилем рівня
α
(або
α
-квантилем) називається величина
Xa,
яка при заданому значенні довірчої
ймовір­ності а є коренем рівняння

Незалежність
випадкових величин. Випадкові величини ξ
та ζ
називаються незалежними, якщо при будь-яких
значеннях а та b ймо­вірність події Р{ ξ < a,
ζ < b} є добутком імовірностей подій Р {
ξ
<a
} та Р {ζ < b }:

Р{
ξ <
a,
ζ < b
}=
Р { ξ <a
}х Р {ζ < b }

Якщо
випадкові величини не задовольняють
наведену щойно умо­ву, то вони
називаються залежними. Прикладом
залежних випадкових величин є кількість
позовів та сумарна величина виплат.
Відсутність позовів означає
відсутність виплат. Нехай η
— кількість позовів (кіль­кість виплат)
у поточному році, ξ
— відповідна сума виплат у страхо­вика.
Нехай з імовірністю 10 % протягом року
виплат у страховика немає. Цей факт
можна записати кількома способами:

Р{ξ
= 0} = Р{ξ < 1 грн.} = 10 %;

P{η=0}=P{η<1}=10%;

Р{η<1, ξ < 1 грн.} = 10%.

Отже,
Р{η<1, ξ < 1 грн.}> Р{ξ < 1 грн.} P{η<1}.
Це означає, що випадкові величини ζ
та ξ
незалежні. Незалежними
випадковими величи­нами можуть
уважатись, наприклад, кількості позовів
з різних видів страхування.

Наведемо
дві важливі властивості. Якщо випадкові
величини ζ та ξ незалежні, то для них
виконуються такі співвідношення:

М[ζξ]
= M[ζ] M[
ζξ]

D[ζ+ξ]
=
D[ξ]
+
D[ζ].

Статистичні
оцінки. Часто ми не маємо інформації про
реальний розподіл випадкової величини ξ
але маємо деяку сукупність спосте­режень,
у яких вона набуває значень х1,x2,
x3, …. хn.
Ця сукупність зна­чень називається
вибіркою, а величини

та

відповідно
вибірковим (емпіричним) середнім та
незсуненою вибірко­вою (емпіричною)
дисперсією. Вибіркове середнє
використовують для оцінювання
математичного сподівання:

,

незсунена
вибіркова дисперсія є оцінкою дисперсії
випадкової вели­чини:

.

Принципи
обчислення тарифних ставок. В актуарніи
практиці використовуються
найрізноманітніші методи обчислення
тарифних ставок. Усі вони базуються на
принципі еквівалентності фінансових зо­бов’язань
страхувальника і страховика. Але
парадокс полягає в тому, що не існує
єдиної точки зору на те, як тлумачити цей
загальновизна­ний принцип страхування.
Розглянемо найпоширеніші підходи до
трак­тування принципу еквівалентності.

Еквівалентність
фінансових зобов’язань як
еквівалентність очікуваних значень.
Зобов’язання страхувальників полягають
у спла­ті страхових премій. Зобов’язання
страховика виражаються в оплаті

позовів
страхувальника. Нехай р означає
величину зібраних страхови­ком премій, Y
величину сумарних виплат страховика.
Природно вва­жати, що справедливою
платою за ризик страховика є очікуване
зна­чення (середнє) випадкової величини
Y:

p=M[Y].

У
такому вигляді принцип еквівалентності
доволі часто викорис­товується у
страхуванні життя та деяких інших
галузях масового стра­хування.

Еквівалентність
зобов’язань з погляду теорії розорення.
Зо­бов’язання страхувальників мають
безумовний характер. Купуючи по­ліс,
страхувальник звільняє себе від ризику
несподіваних витрат. Ви­трати
страховика, навпаки, непередбачувані.
Страховик приймає на себе ризик, який
полягає в тому, що його виплати будуть
значно біль­шими за М [Y]. Тому страховик
вправі вимагати додаткової плати за
можливі збитки — ризикову надбавку L.
Із цього погляду справджу­ється
співвідношення

р=
M[Y] +L.

Постає
запитання: якими мають бути величини
ризикової надбавки L та страхової премії
р Щоб відповісти на нього, доцільно
звернутися до теорії розорення.

Факт
розорення страховика описується
співвідношенням U
+ р < Y, де U
величина власних коштів страховика.
Відповідно, імовірність розорення
дорівнює Р{ U
+ р < Y}.

Отже,
якщо страховик намагається досягнути
ймовірності розо­рення а, то він має
забезпечити величину страхових премій р
такою, щоб виконувалося співвідношення:

P{U+pα.

Таке
розуміння принципу еквівалентності є
найпоширенішим у сьогоденній практиці.
Основним недоліком цього підходу є
досить ви­сока абстрактність поняття «імовірність
розорення». Яка ймовірність розорення
страховика вважається достатньою — 10 %, 1
% чи 0,1 %? На це запитання дуже важко дати
аргументовану відповідь. Зменшен­ня
ймовірності розорення з 2 % до 0,2 % для
страховика не має прин­ципового
значення, хоча може призвести до
необхідності збільшити ризикову
надбавку в півтора раза.

Принцип
еквівалентності зобов’язань у термінах
теорії розорення має математично
обгрунтовану форму, але застосування
його в актуа­рніи практиці може
призводити до значних коливань
розрахункових величин.

Еквівалентність
зобов’язань з погляду теорії корисності.

Нині
дедалі популярнішим стає підхід до
формалізації принципу еквівален­тності
фінансових зобов’язань страхувальника і
страховика, що грун­тується на теорії
корисності.

Основним
поняттям цієї теорії є функція
корисності. Функцією ко­рисності
називають функцію u
(х), яка має такі властивості:

функція
u зростаюча — u(х)
> u(у)
при х > у;

функція
u
задовольняє нерівність Єнсена М [u(х)]
u
(М[х]);

функція
u задовольняє умову нульової корисності
u (0) = 0. Функція корисності визначає
ступінь важливості для страховика
певних грошових сум. Вона має суб’єктивний
характер, включаючи в себе
психологічний компонент.

За
допомогою функції корисності принцип
еквівалентності можна записати так:

M[u
(U+p-Y)]=u (U).

Отже,
очікувана корисність капіталу
страховика після прийняття ризиків не
повинна зменшитися порівняно з
корисністю початкового капіталу.
На
практиці часто застосовують
експоненціальну u(х)
= 1 – еax
та квадратичну u(х) = ах — х2 функції
корисності.

Головна
проблема у разі практичного
застосування принципу екві­валентності
в термінах теорії корисності —
відшукання адекватної функції
корисності.



НЕТ КОММЕНТАРИЕВ

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ