18.2. ВИЗНАЧЕННЯ ТАРИФІВ ЗА ДОГОВОРАМИ СТРАХУВАННЯ ЖИТТЯ Ищите Господа, когда можно найти Его, призывайте Его, когда Он близко. (Библия, книга пророка Исаии 55:6) Узнать больше о Боге
Главная Книги Статьи Реклама на сайте

ТЕКСТЫ КНИГ ПРИНАДЛЕЖАТ ИХ АВТОРАМ И РАЗМЕЩЕНЫ ДЛЯ ОЗНАКОМЛЕНИЯ

18.2. ВИЗНАЧЕННЯ ТАРИФІВ ЗА ДОГОВОРАМИ СТРАХУВАННЯ ЖИТТЯ

 Страхова виплата за договорами страхування життя здійснюється одноразово в розмірі страхової суми (її частини) і/або у вигляді послі­довних виплат страхової суми (додаткове забезпечення доходу застра­хованої особи у разі її хвороби, досягнення нею віку, який визначено у договорі страхування, настання певних подій у її житті).

Страхові виплати здійснюються у разі:

• смерті застрахованої особи;

• дожиття застрахованої особи до закінчення строку дії договору страхування;

• досягнення застрахованою особою пенсійного віку (страхування додаткової пенсії) або віку, який визначено в договорі страхування;

• настання події в житті застрахованої особи, яка обумовлена у до­говорі страхування (укладання шлюбу, народження дитини, вступ до навчального закладу, смерть близького родича застрахованої особи — дружини, чоловіка, дітей, батьків).

Умови договору страхування життя можуть додатково передбачати обов'язок страховика здійснити страхові виплати в разі:

• хвороби застрахованої особи;

• тимчасової непрацездатності застрахованої особи внаслідок не­щасного випадку;

• стійкої непрацездатності (інвалідності) застрахованої особи вна­слідок нещасного випадку.

Основні статистичні параметри у страхуванні життя. Нетто-тариф за договором страхування життя для кожного з наведених щой­но страхових ризиків (страхових подій) визначають з урахуванням статистичних закономірностей страхових ризиків протягом дії догово­ру страхування та величини інвестиційного доходу від розміщення страхових резервів.

Математичною моделлю випадкових процесів дожиття та смертно­сті, непрацездатності, хвороби у разі переходу застрахованих осіб з однієї вікової категорії в іншу є регіональні таблиці дожиття та смерт­ності і відповідні регіональні чи селективні (за статтю, станом здо­ров'я, тривалістю непрацездатності або хвороби, професією, регіоном проживання тощо) статистичні таблиці страхових ризиків, які форму­ються страховиками.

При визначенні нетто-тарифу за договором страхування життя ви­користовують:

• регіональну або селективну таблицю дожиття та смертності;

• регіональні або селективні таблиці додаткових страхових ризиків;

• річну ставку інвестиційного доходу і;

• таблиці комутаційних чисел для встановленої у договорі стра­хування річної ставки інвестиційного доходу та ймовірностей відпові­дних страхових ризиків.

Основні параметри таблиці дожиття та смертності:

lх — кількість осіб, що дожили до віку х років (змінна х позначає повне число років застрахованої особи на час укладення договору страхування життя);

 — кількість осіб у віці х років, які не доживуть до віку х + 1 рік, при цьому:

;

 — коефіцієнт смертності для особи у віці х років (ймовірність смерті протягом року для особи у віці х років), при цьому:

- імовірність дожити до віку х + 1 для особи у віці х років;

— імовірність смерті протягом t років для особи у віціх років;

— імовірність прожити не менш ніж / років для особи у віці х років, при цьому:

звідки

                         ;

;            .

При укладанні договору страхування життя, умови якого передба­чають страхові ризики, які щойно визначені, для кожного із цих стра­хових ризиків розраховують відповідні статистичні таблиці, розрізня­ючи їх за допомогою індексів (j = 0, 1,2 ...), при цьому індексу = 0 використовують для таблиць дожиття та смертності.

Основні параметри статистичних таблиць додаткових ризиків такі:

lx — кількість осіб, що дожили до віку х років (має дорівнювати значенню такого самого параметра в таблиці дожиття та смертності);

— кількість осіб у віці х років, для яких j-та страхова подія на­стане протягом року (до настання віку х + 1 рік);

— кількість осіб у віці х років, для яких j-та страхова подія на­стане протягом t років (на проміжку часу від х років до x + 1 років);

 — ймовірність настання протягом року j-ї страхової події для особи у віці х років;

 — ймовірність настання протягом t років j-ї страхової події для особи у віці х років, при цьому

.

— ймовірність того, що j-та страхова подія не настане протягом t років для особи у віці х років.

Розрахунки нетто-тарифів за договорами страхування життя про­водять на основі статистичних таблиць страхових ризиків. При цьому для кожного страхового ризику розраховують такі комутаційні числа:

 

де ω — граничний згідно з таблицею смертності вік;

t — змінний індекс, що дорівнює повному числу років з часу почат­ку дії договору страхування життя;

v — дисконтуючий множник, який для встановленої величини річ­ної ставки інвестиційного доходу i визначається співвідношенням:

v = 1 / 1+i;

Таблиця комутаційних чисел складається для всіх значень віку х та величини i ставки річного інвестиційного доходу, які використовують­ся в розрахунках нетто-тарифу.

Страхові ануїтети. Страховий ануїтет — це послідовність страхо­вих платежів або страхових виплат двох видів:

ануїтет пренумерандо — послідовність страхових платежів або страхових виплат, що здійснюється на початку кожного обумовленого періоду часу;

ануїтет постнумерандо — послідовність страхових платежів або страхових виплат, що здійснюється в кінці кожного обумовленого пе­ріоду часу.

Річні ануїтети — це послідовність страхових платежів або страхо­вих виплат, які здійснюються один раз на рік.

Дійсна вартість страхових ануїтетів (сподівана вартість майбутніх страхових платежів або майбутніх страхових виплат на час укладення договору страхування) визначається, як правило, в розрахунку на одну грошову одиницю річних ануїтетів постнумерандо. Інші можливі варі­анти платежів — піврічні, щоквартальні та щомісячні страхові ануїте­ти, як постнумерандо, так і пренумерандо визначаються через річні ануїтети постнумерандо.

Дійсна вартість річних страхових ануїтетів постнумерандо на час укладення договору страхування життя для застрахованої особи у віці х років у загальному випадку розраховується аналітичне за формулою

дe P(t} — імовірність настання страхової події для застрахованої особи за проміжок часу від t до t + 1 року дії договору;

значення цілого індексу t визначає порядок року в межах терміну дії договору страхування;

значення b(t) визначає величину річного страхового платежу або річної страхової виплати.

Дисперсія таких ануїтетів визначається так:

 де через 2a(t) позначено ануїтет виду

.

 

Дійсна вартість страхових ануїтетів постнумерандо на час укла­дення договору страхування життя визначається аналітичне або за до­помогою комутаційних чисел з урахуванням даних статистичних таб­лиць для кожного страхового ризику:

• при укладанні договору страхування життя без обмеження стро­ку дії договору (довічне страхування) дійсна вартість страхового ануї­тету ax , який щороку сплачується в розмірі одиниця (випадок b(t) = 1), поки застрахована у віці х років особа жива, визначається ймовірністю

P(t) =  та обчислюється за допомогою співвідношень:

 або

• при укладанні договору страхування життя на строк n років дійс­на вартість страхового ануїтету , який протягом n років щороку сплачується в розмірі одиниця, поки застрахована у віці х років особа жива, визначається ймовірністю Р(t) = та розраховується за допо­могою співвідношень:

 або

• при укладанні договору страхування життя без обмеження стро­ку дії договору (довічне страхування) дійсна вартість страхового ануї­тету (Іа)х який сплачується в розмірі одиниця за кожний рік дії дого­вору (випадок b(t) = t), поки застрахована у віці х років особа жива,

визначається ймовірністю P(t) =  та обчислюється за допомогою співвідношень:

або

• при укладанні договору страхування життя на строк n років дійс­на вартість страхового ануїтету  який протягом n років спла­чується в розмірі одиниця за кожен рік дії договору, поки застрахова­на у віці х років особа жива, визначається ймовірністю P(t) = = та обчислюється за допомогою співвідношень:

або

при укладанні договору страхування життя без обмеження строку дії договору (довічне страхування) на випадок настання j-ї страхової події для застрахованої у віці х років особи дійсна вартість одиниці одноразової страхової виплати  визначається ймовірністю P(t) =  та розра­ховується за допомогою співвідношень:

      або  

• при укладанні договору страхування життя на строк т років на випадок настання j-ї страхової події для застрахованої у віці х років особи дійсна вартість одиниці одноразової страхової виплати    визначається за допомогою співвідношень:

 або

 

Приклад. При укладанні договору страхування життя на строк п років, умови якого передбачають страхову подію «стійка непрацездат­ність (інвалідність) застрахованої особи внаслідок нещасного випад­ку», дійсна вартість одиниці одноразової страхової виплати  визначається ймовірністю P(t) =  та обчислюється за формулою: 

 

де через позначена ймовірність настання протягом року інвалідно­сті внаслідок нещасного випадку для застрахованої у віці х років осо-

би; при цьому випадок n = w визначає дійсну вартість страхового ануї­тету без обмеження терміну дії договору:

• при укладанні договору страхування життя, умови якого перед­бачають страхову подію «дожиття застрахованої у віці х років особи до закінчення строку дії договору» (n — кількість років дії договору стра­хування), дійсна вартість одиниці страхової виплати визначається так:

 або 

При укладанні договору страхування життя, умови якого передба­чають страхову подію «хвороба застрахованої особи» або страхову по­дію «тимчасова непрацездатність застрахованої особи внаслідок неща­сного випадку», дійсна вартість одиниці страхової виплати  за кожний день хвороби (непрацездатності) визначається імовірністю  і пропорційна значенням середньої за рік кількості M(L) днів хвороби (тимчасової непрацездатності) і середньої' за рік кількості M(N) захво­рювань для застрахованої особи та обчислюється за допомогою спів­відношення

де — імовірність настання протягом року хвороби (тимчасової не­працездатності) для застрахованої у віці х років особи. При цьому ви­падок n = w визначає дійсну вартість страхового ануїтету без обме­ження терміну дії договору

Дійсна вартість страхових ануїтетів пренумерандо (позначення з двома крапками над виразом) у розрахунку на одну грошову оди­ницю річних платежів або виплат визначається аналітичне або за

допомогою комутаційних чисел через дійсну вартість відповідних ануїтетів постнумерандо (позначення без крапок над виразом) та­ким чином:

  або 

 або 

Дійсна вартість страхових ануїтетів з виплатами т раз на рік (позначення з верхнім індексом (m)) у розрахунку на одну сумарну за рік грошову одиницю страхових платежів або виплат визначається для випадків постнумерандо та пренумерандо через відповідні річні ануїте­ти такими формулами:

Дійсна вартість одиниці страхових виплат для договорів страху­вання життя з негайною виплатою страхової суми в разі настання страхової події (позначення з рискою над виразом) визначається за до­помогою співвідношень:

 

де  — інтенсивність річної ставки i інвестиційного доходу.

Дійсна вартість страхових ануїтетів, які відстрочені на w років (позначення з бічним індексом  ), визначається аналітичне або за до­помогою комутаційних чисел такими співвідношеннями:

   або ,

    або .

 

    або  

    або     

 

Розрахунок нетто-премій за договорами страхування життя. Нетто-премії розраховуються на підставі принципу еквівалентності зобов'я­зань, що їх беруть страховик (страхові зобов'язання) та страхувальник (зобов'язання сплати страхових внесків), на час укладення договору страхування (принцип еквівалентності дійсних вартостей зобов'язань).

Наведені щойно співвідношення дозволяють обчислювати нетто-премії (у разі сплати премій пренумерандо) для договорів страхування життя, які враховують настання однієї, кількох або всіх зазначених страхових подій.

Величина нетто-премії N за кожним договором страхування життя визначається співвідношенням

N = TS,

де Т— нетто-тариф страхового внеску з одиниці страхової суми;

S— страхова сума за укладеним договором страхування життя. Якщо умови договору страхування життя передбачають настання кількох страхових подій, нетто-премія за таким договором страхуван­ня розраховується як сума відповідних нетто-премій для кожної стра­хової події.

При визначенні нетто-премій актуарій прогнозує значення річної ставки i інвестиційного доходу залежно від терміну дії договору стра­хування. Розрахункове значення річної ставки i інвестиційного дохо­ду може коригуватися з урахуванням значення річної ставки інфляції f за формулою

При розрахунку нетто-премії N лише на випадок дожиття застра­хованої у віці х років особи до закінчення строку дії договору страху­вання (n — кількість років дії договору страхування) величина нетто-премії визначається пропорційно до величини страхової суми S:

• у разі сплати страхової премії одноразово:

N=nExS,

• у разі сплати річних страхових премій протягом перших обумов­лених договором страхування k років:

При розрахунку нетто-премії лише на випадок настання j-ї страхо­вої події нетто-премія пропорційна до страхової суми S, яка виплачу­ється негайно після настання страхової події, і визначається співвід­ношеннями:

• при довічному страхуванні у випадку сплати страхової премії одноразово:

N=;

• при довічному страхуванні в разі сплати річних страхових премій протягом перших обумовлених договором страхування k років:

• при довічному страхуванні в разі сплати річних страхових премій довічно:

• при страхуванні на строк п років у разі сплати страхової премії одноразово:

• при страхуванні на строк п років у разі сплати річних страхових премій протягом перших обумовлених договором страхування k років:

При розрахунку нетто-премії на випадок настання страхової події «хвороба застрахованої особи» або страхової події «тимчасова непра­цездатність застрахованої особи внаслідок нещасного випадку», коли умовами договору передбачається послідовність страхових виплат ве­личиною S за кожний день хвороби (непрацездатності), величина нет­то-премії визначається співвідношеннями:

• при довічному страхуванні в разі сплати страхової премії однора­зово:

;

• при довічному страхуванні в разі сплати річних страхових премій протягом перших обумовлених договором страхування k років:

• при довічному страхуванні в разі сплати річних страхових премій довічно:

• при страхуванні на строк n років у разі сплати страхової премії одноразово:

• при страхуванні на строк п років у разі сплати річних страхових премій протягом перших обумовлених договором страхування k років:

При розрахунку нетто-премії на випадок настання страхових подій «досягнення застрахованою особою пенсійного віку або віку, який визначено у договорі страхування», а також «смерті застрахо­ваної особи», величина нетто-премії визначається через величину страхової суми S, яка виплачується в разі смерті застрахованої осо­би негайно, та через величину R щорічної пенсії пренумерандо співвідношеннями:

• при довічному страхуванні особи у віці х років на випадок смер­ті та на випадок виплати довічної пенсії, починаючи з віку застрахованої особи х + w років, у разі сплати страхової премії одноразово:

;

• при страхуванні на строк п років застрахованої у віці х років особи на випадок смерті та на випадок виплати пенсії, починаючи з віку х + w років до віку х + w років, у разі сплати річних страхових премій протягом перших обумовлених договором страхування k років:

Залежність величини нетто-тарифу від запланованої кількос­ті договорів. Наведені формули розрахунку нетто-премій являють собою математичне сподівання виплат страховика і задовольняють

резерви компанії за договорами страхування життя в разі багатьох (кількох тисяч) договорів. При плануванні меншої кількості догово­рів наведені формули слід коригувати з урахуванням середньоквад-ратичного відхилення ануїтетів виплат та платежів. Розглянемо, як це потрібно робити.

Тариф Tо розрахованих нетто-премій збільшують на величину ри-зикової надбавки DT так, щоб виконувалася рівність

T=T0+DT.

Ризикова надбавка до нетто-тарифу визначається з урахуванням запланованої кількості N договорів страхування, рівнем γ довірчої ймовірності (γ є [0,9; 0,99]), квантилем нормального розподілу tγ рівня γ і обчислюється за формулою

де σ — стандартне відхилення тарифу розрахованої нетто-премії.

Стандартне відхилення σ (Т) залежить від дисперсії ануїтету ви­плат, нормується величиною ануїтету платежів і визначається для кожного типу договору страхування окремо:

• при довічному страхуванні лише на випадок настання j-ї страхо­вої події для застрахованої у віці х років особи в разі сплати страхової премії одноразово і негайною виплатою одиниці страхової суми в разі настання страхової події:

.

де d — величина дисконту, який визначається через річну ставку та ін­вестиційного доходу за формулою

d = i / (1+i)

при довічному страхуванні лише на випадок настання j-ї страхо­вої події для застрахованої у віці х років особи в разі сплати річних страхових премій протягом перших обумовлених договором страху­вання k років і негайною виплатою одиниці страхової суми в разі на­стання страхової події:

,

 

при довічному страхуванні лише на випадок настання j-ї страхо­вої події для застрахованої у віці х років особи в разі сплати річних страхових премій довічно і негайною виплатою одиниці страхової су­ми в разі настання страхової події:

при страхуванні на строк п років лише на випадок настання j-ї страхової події для застрахованої у віці х років особи у випадку сплати страхової премії одноразово і негайною виплатою одиниці страхової суми в разі настання страхової події:

• при страхуванні на строк п років лише на випадок настання j-ї страхової події для застрахованої у віці х років особи у випадку сплати річних страхових премій протягом перших обумовлених договором страхування дроків і негайною виплатою одиниці страхової суми в ра­зі настання страхової події:

при страхуванні лише на випадок дожиття застрахованої у віці х років особи до закінчення терміну дії договору страхування (n — кіль­кість років дії договору страхування) в разі сплати страхової премії одноразово:

• при страхуванні лише на випадок дожиття застрахованої у віці х років особи до закінчення терміну дії договору страхування (n — кількість років дії договору страхування) в разі сплати річних стра­хових премій протягом перших обумовлених договором страхування k років:

 

Аналогічно стандартне відхилення нетто-тарифу визначається для кожного розглянутого типу договору страхування.

Приклад. Розглянемо основну частину То та можливі (відносно за­планованої кількості договорів страхування) ризикові надбавки ΔT ве­личини нетто-тарифу T при укладанні договору довічного страхування життя чоловіка у віці 45 років лише на випадок смерті в разі сплати перших 5 річних страхових премій і негайною виплатою одиниці стра­хової суми при настанні страхової події.

Для розрахунків виберемо значення ставки та інвестиційного до­ходу таким, що дорівнює 4 % (i = 0,04), і візьмемо рівень довірчої ймовірності γ = 0,95, так що tγ = 1,645.

На підставі даних таблиці дожиття та смертності в Україні за 1994 — 1995 pp., за формулою

при S = 1 обчислюємо величину нетто-тарифу То = 0,0980134. Згідно з формулою:

залежність величини нетто-тарифу від запланованої кількості до­говорів страхування відбиває таблиця, наведена на с. 415.


 

 << попередня     зміст     наступна >>

polkaknig(at)narod.ru, ICQ - 474849132 © 2005-2009 Матеріали цього сайту можуть бути використані лише з посиланням на даний сайт.