18.3. ВИЗНАЧЕННЯ ТАРИФІВ ЗА ДОГОВОРАМИ ЗАГАЛЬНОГО СТРАХУВАННЯ Ищите Господа, когда можно найти Его, призывайте Его, когда Он близко. (Библия, книга пророка Исаии 55:6) Узнать больше о Боге
Главная Книги Статьи Реклама на сайте

ТЕКСТЫ КНИГ ПРИНАДЛЕЖАТ ИХ АВТОРАМ И РАЗМЕЩЕНЫ ДЛЯ ОЗНАКОМЛЕНИЯ

18.3. ВИЗНАЧЕННЯ ТАРИФІВ ЗА ДОГОВОРАМИ ЗАГАЛЬНОГО СТРАХУВАННЯ

Класичний підхід до визначення тарифів. Під договорами загаль­ного страхування розумітимемо договори страхування, які не є дого­ворами страхування життя. Договори загального страхування характе­ризуються відносно коротким терміном дії договору — від кількох днів до одного року. Ця особливість визначає характерні особливості розрахунку страхових тарифів за такими договорами:

• обчислюється величина лише разової страхової премії;

• не враховується можливий інвестиційний прибуток від розмі­щення тимчасово вільних коштів страхових резервів із цих видів стра­хування.

При розрахунку нетто-премії за договорами загального страхуван­ня вважають, що величина N разової нетто-премії виражає еквівалент­ність зобов'язань страховика та страхувальників і пропорційна вели­чині S страхової суми:

N=TS,

де коефіцієнт пропорційності Т називають нетто-тарифом чи нетто-ставкою.

Брутто-премія В, або просто страхова премія, пропорційна нетто-премії N:

B = αN,

де коефіцієнт пропорційності α (α > 1) містить в собі долю f наванта­ження (адміністративні витрати, комісійні, плановий прибуток страхо­вика) і визначається співвідношенням

α = 1 / (1—f).

Для визначення структури нетто-тарифу за договором загального страхування розглянемо гіпотетичний випадок, коли відома вся необ­хідна для розрахунків інформація.

Приклад. Припустимо, що при проведенні страхування визначе­ного ризику (наприклад, майнове страхування будівель від стихійного лиха) протягом фіксованого проміжку часу Δt (наприклад, одного ро­ку) страховиком заплановано:

• проведення страхування за n (n = 1, 2, ...) договорами зі страхо­вими сумами S1, S2, S3, ..., Sn відповідно;

• настання за цими договорами т страхових випадків зі страхови­ми виплатами Sb1, Sb2, Sb3, ..., Sbn.

Визначимо розмір нетто-тарифу при страхуванні ризику, який від­повідав би узятим зобов'язанням страховика з названих видів стра­хування.

У розглянутому випадку нетто-тариф можемо визначити на підста­ві загального принципу еквівалентності зобов'язань страховика та страхувальників. Зобов'язання страховика дорівнюють сумі страхових відшкодувань

Sb1+ Sb2+ Sb3+ ...+ Sbn

а зобов'язання страхувальників — сумі внесених нетто-премій

N1+N2+N3+…+Nn = T0S1+ T0S2+ T0S3+…+ T0Sn = T0 (S1+S2+S3+…+Sn),

де То — нетто-тариф, який потрібно визначити. Значення То в даному прикладі можемо знайти з рівняння балансу зобов'язань страховика та страхувальників:

Sb1+ Sb2+ Sb3+ ...+ Sbn= T0 (S1+S2+S3+…+Sn),

або

У цьому балансовому співвідношенні зручно виконати усереднен­ня за договорами страхування, поділивши обидві частини останнього на mn:

a адалі, ввівши значення Sb — середньої страхової виплати та значення — середньої страхової суми на один договір

,

перейти до співвідношення

звідки знаходимо шукане значення нетто-тарифу

Останню рівність записують, як правило, у вигляді 

Т0 = Кзбw,

тобто виражають нетто-тариф при страхуванні визначеного ризику че­рез два основні параметри:

• коефіцієнт збитковості заданим страховим ризиком

Кзб =

• відносну частоту настання страхової події за даним страховим ризиком

w = m / n.

Наведені співвідношення вирішують поставлене завдання і дозво­ляють розраховувати нетто-тариф при страхуванні визначеного ризику лише у апостеріорному (післядослідному) випадку, коли відома вся необхідна інформація, а саме відомі значення параметрів n, m, Sb, S або Кзб, w. На практиці при апріорному (до початку досліду) визначен­ні тарифів жодний із цих параметрів не відомий і всі вони е випадко­вими додатними величинами. Але наведений приклад та отримані співвідношення мають важливе значення для перевірки і коригуван­ня за результатами страхової діяльності правильності апріорного ви­значення тарифів. Саме ці співвідношення вказують на необхідність у діяльності кожної страхової компанії постійного спостереження та аналізу значень параметрів Кзб, w за прийнятим на страхування ризи­ком і дозволяють періодично коригувати наперед визначені для та­кого ризику тарифні ставки.

При апріорному визначенні нетто-тарифу у загальному випадку розглянутої моделі страхових відшкодувань у співвідношенні Т0 = Кзбw

потрібно розв'язати суперечність, яка полягає в тому, що ліва частина (нетто-тариф) має бути наперед визначеною фіксованою величиною, а права частина є випадкова величина, значення якої можуть істотно змі­нюватися в різні періоди діяльності страховика.

Для розв'язання цієї суперечності широке застосування набув ме­тод, який грунтується на тому, що замість випадкової величини дос­татньо взяти її найбільше можливе із заданою довірчою ймовірністю значення.

Такий підхід визначає структуру нетто-тарифу за договором за­гального страхування:

Т = То + Тр,

де Т0 = M[Кзбw] — основна частина нетто-тарифу (математичне споді­вання величини збитків з одиниці страхової суми в разі великої кіль­кості договорів страхування за визначеним ризиком);

Тр = Т0 — ризикова (страхова) надбавка до основної частини нет­то-тарифу, яка із заданою довірчою ймовірністю враховує можливі не­бажані відхилення й відносної величини виплат і обчислюється за фо­рмулою:

де tγ — квантиль рівня γ нормального розподілу.

За законом великих чисел при великих значеннях п випадкова ве­личина w прямує з імовірністю одиниця до значення р теоретичної імовірності настання страхової події за визначеним ризиком та розпо­ділена за нормальним законом з параметрами

M[w] = p,     D[w] = [p(1—p)] / n.

Величини страхових виплат Sbi, будемо вважати розподіленими за рівномірним законом. Таким чином, для коефіцієнта збитковості Кзб маємо:

D[Кзб] = М[Кзб] / 3n.

Останні співвідношення дозволяють спростити формулу обчис­лення величини :

На практиці на страхування беруть ризики, ймовірність настання яких не вища за 0,25, тобто при р £ 0,25, і для  застосовують оцінку:

Отже, нетто-тариф при страхуванні виділеного ризику розрахову­ється із заданою довірчою ймовірністю γ за формулою

де tγ — квантиль рівня γ нормального розподілу;

т — кількість договорів страхування за визначеним ризиком, що планується;

р — ймовірність настання страхової події за визначеним ризиком;

М[Кзб] — математичне сподівання збитковості. Математичне сподівання величини Kw для визначеного ризику практично не змінюється і може бути визначено так:

• 0,3 — при страхуванні від нещасних випадків та хвороби;

• 0,4 — при страхуванні засобів наземного транспорту;

• 0,5 — при страхуванні вантажів та майна (крім засобів транспорту);

• 0,6 — при страхуванні засобів повітряного та водного транспорту;

• 0,7 — при страхуванні відповідальності власників автотранспор­тних засобів та інших видів відповідальності, а також при страхуванні фінансових ризиків.

Для обчислення нетто-премії за договором страхування визначено­го ризику слід нетто-тариф помножити на величину S страхової суми:

N = ST.

Зауважимо, що величина нетто-тарифу істотно залежить:

• від запланованої кількості договорів страхування за визначеним ризиком і зменшується з їх зростанням до математичного сподівання величини збитків з одиниці страхової суми;

• від значення довірчої ймовірності шуканого тарифу і зростає з наближенням цього значення до одиниці;

• від точності вибору значення коефіцієнта збитковості.

Страхові тарифи в індивідуальній моделі ризику. Наведені фор­мули у явному вигляді виражають класичний підхід розрахунку нетто-тарифу для страхового ризику за наявності мінімальної інформації про можливі майбутні страхові виплати. Якщо відомі додаткові статистич­ні дані про процес настання страхової події, можливе застосування більш точних методів обчислення страхових тарифів.

Для розв'язання відповідних задач вводять різні статистичні моде­лі страхових ризиків і розглядають відповідні моделі розподілу сумар­ного розміру страхового відшкодування. Найпростішою з них (.модель тдивідусиїьнш ризиків, яка щодо договорів загального страхування передбачає таке:

• кількість n незалежних між собою договорів страхування фіксо­вана та наперед визначена;

• для кожного договору страхування відомі статистичні властиво­сті пов'язаного з ним можливого відшкодування Xk, де k — порядко­вий номер договору.

Зауважимо, що далеко не за кожним договором виплачується стра­хове відшкодування, тому деякі випадкові величини Хk (страхових відшкодувань за k-тим договором) можуть дорівнювати нулю.

Загальний розмір страхового відшкодування за страховою подією, тобто розмір зобов'язань страховика, визначає сума незалежних між собою випадкових величин

S = X1+X2+…+Xn.

У загальному випадку при використанні моделі індивідуального ризику величина Bk страхової премії за k-тим договором страхування (k= 1, 2,..., n) розраховується з умови достатності із заданою довірчою ймовірністю отриманих страхових премій для виконання зобов'язань страховика за формулою

Bk = M[Xk](1+)

де M[Xk] — математичне сподівання відшкодувань за k-тим договором страхування;

 — відносна страхова надбавка.

Основний внесок до величини Bk у загальному випадку вносить значення суми M[Xk], яку називають основною частиною нетто-премії. Додаткову суму M[Xk] називають ризиковою (страховою) надбавкою до основної частини, яка із заданою довірчою ймовірніс­тю враховує можливі небажані відхилення відносної частоти настан­ня страхової події.

На практиці використовують кілька способів розрахунку відносної страхової надбавки при страхуванні визначеного ризику:

1) з фіксованим значенням для всіх договорів страхування

 де tγ — квантиль рівня γ нормального розподілу;

М[Sn] — математичне сподівання сумарного розміру страхових відшкодувань;

D[Sn] - дисперсія сумарного розміру страхових відшкодувань;

2) зі змінним значенням, пропорційним дисперсії або середньо-квадратичному відхиленню величини страхового відшкодування Хk за k-тим договором, тобто у вигляді

 або , k = 1,2,…,n.

Зауважимо, що у наведених співвідношеннях числові характерис­тики випадкових величин Хk страхового відшкодування за k-тим дого­вором визначаються залежно від наявної статистичної інформації про процес настання страхової події.

У разі, коли відомі числові характеристики сумарного розміру Sn страхових відшкодувань за страховим ризиком на підставі центральної граничної теореми, можна обчислити ймовірність достатності наявних страхових резервів розміру r для виконання зобов'язань страховика за цим ризиком:

P{Sn>r}=

або ймовірності розорення (недостатності наявних страхових резер­вів):

P{Sn<r}=lP{Sn>r],

де –F0(x) — інтегральна функція нормованого нормального розподілу.

Страхові тарифи в колективній моделі ризику. Складнішу мо­дель розподілу сумарного розміру страхового відшкодування за визна­ченим ризиком виражає колективна модель ризику, яка розглядає не окремі договори страхування, а весь портфель договорів за даним страховим ризиком і передбачає таке:

• кількість v вимог про страхове відшкодування за даним ризиком на фіксованому проміжку часу є випадкова величина (як правило, з пуассонівським розподілом);

• значення послідовних страхових відшкодувань Y1, Y2, ..., Yv за портфелем страхового ризику за цей проміжок часу утворюють послі­довність випадкових величин, що однаково розподілені;

• випадкові величини v, Y1, Y2, ..., Yv незалежні в сукупності.

Колективна модель враховує можливість неодноразового настання страхової події за одним договором страхування (що дуже важливо в

договорах загального страхування), не обмежена умовою визначеності кількості майбутніх договорів страхування та розглядає завжди додат­ні значення відшкодувань Yk, k = 1, 2, ..., v (на відміну від індивіду­альної моделі, де значення відшкодувань Xk могли бути нульовими). Сумарний розмір S страхових відшкодувань за страховим ризиком у колективній моделі визначає випадкова сума незалежних між собою випадкових величин

S= Y1+ Y2+ ...+ Yv

За заданими числовими характеристиками кількості v вимог про страхове відшкодування та величиною Y одного страхового відшкоду­вання в загальному випадку можемо знайти числові характеристики сумарного розміру S страхових відшкодувань за страховим ризиком у колективній моделі

M(S) =M[v]M[Y];

D[S] = D[Y] M[v] + D[ v](М[Y])2.

Найпростішу і найпоширенішу модель розподілу кількості страхо­вих вимог v визначає розподіл Пуассона з параметром λ , коли

P{N=k}= (lK / k!) e-λ, k = 0,1,2,...,

причому

M[v]=D[v]= λ.

У цьому випадку розподіл випадкової величини S називають склад­ним розподілом Пуассона, а її числові характеристики визначають за формулами

M[S]= λ [Y];

D[S] =  λ (D[Y] + (M[Y])2) = λ M[Y2].

Зауважимо, що параметр  розподілу Пуассона випадкової величи­ни v та інтегральну функцію F(t) = P{Y <t} розподілу значень випад­кової величини Y одного страхового відшкодування називають пара­метрами складного розподілу Пуассона, що записують у вигляді 

S  ~ СР(λ; F). Крім того, у наведених співвідношеннях параметр λ визначає середню за портфелем кількість страхових вимог (вимог про виплату страхового відшкодування) за одиницю часу (наприклад, за один рік).

У страховій практиці дуже важливий той факт, що сума незалеж­них випадкових величин, кожна з яких має складний розподіл Пуассо­на, також має складний розподіл Пуассона. Виконується твердження:

Якщо S1, S2, ... — взаємно незалежні випадкові величини, кожна з яких розподілена за складним розподілом Пуассона Sk ~ СР(λK; FK).,

k = 1, 2, ..., та ряд  — збіжний, то сума S = S1+ S2 + ... також має складний розподіл Пуассона S ~ СР(λ; F), параметри якого визначають співвідношення

;       

Наведене твердження на практиці використовують у таких випадках:

• при об'єднанні т незалежних страхових портфелів, таких що су­марний розмір страхових відшкодувань Sk, k =1,2,...,m по кожному з них має складний розподіл Пуассона Sk ~ СР(λK; FK); у результаті отри­мують об'єднаний портфель, сумарний розмір страхових відшкоду­вань S якого також буде визначати складний розподіл Пуассона

S ~ СР();

• при дослідженні сумарного за т років страхового відшкодування S за одним і тим самим страховим ризиком з незалежними річними сумарними страховими відшкодуваннями S, k = 1, 2, ..., m, кожне з яких має складний розподіл Пуассона, можемо вважати, що S також має складний розподіл Пуассона.

У загальному випадку при використанні моделі колективного ри­зику величина В страхової премії для всіх договорів страхування од­накова й визначається з умови достатності із заданою довірчою ймові­рністю отриманих страхових премій для виконання зобов'язань страховика за формулою

В = λ1 M[Y] (1 + ),

де M[Y] — математичне сподівання виплати одного страхового від­шкодування;

λ1 — середня на один договір кількість страхових вимог за оди­ницю часу;

 — відносна страхова надбавка.

Основний внесок до величини В у загальному випадку вносить зна­чення суми λ1 М[Y], яку називають основною частиною нетто-премії. Додаткову суму λ1 М[Y], називають ризиковою (страховою) надбавкою до основної частини, яка із заданою довірчою ймовірністю враховує можливі небажані відхилення відносної частоти настання страхової події.

Відносна страхова надбавка при страхуванні визначеного ризику має фіксоване для всіх договорів значення і розраховується за формулою

де lγ — квантиль рівня γ нормального розподілу;

M[S] — математичне сподівання сумарного      розміру страхових

відшкодувань;

D[S] —дисперсія сумарного розміру страхових відшкодувань. Математичне сподівання M[Y] одного страхового відшкодування визначається залежно від наявної статистичної інформації про процес настання страхової події. 

Середня на один договір кількість λ1 страхових вимог за одиницю часу (у загальному випадку — за один рік) розраховується на підставі середньої за портфелем кількості λ страхових вимог за одиницю часу також — один рік):

λ = λ / n,

де n — визначає кількість договорів страхового портфеля, для якого була отримана оцінка параметра λ.

ТЕСТ 18 Визначення страхових тарифів

1. Таблиця містить дані страхових відшкодувань за останній рік зі страхування автомобілів (каско).

Знайти емпіричне середнє та незсунену емпіричну дисперсію страхових відшкодувань.
1) = 99,5, = 75;
2) = 75, = 99,5;
3) = 98,3, = 9,5.
2. Ставка інвестиційного доходу дорівнює і = 50 %. Знайти дискон-туючий множник та інтенсивність ставки інвестиційного доходу.
1) v = 0,563, ? =0,740;
2) v = 0,723, ? = 0,566;
3) v = 0,667, ? =0,405.

3. Нетто-премія становить 123 грн., навантаження до нетто-премїї дорівнює 35 %. Обчислити брутто-премію.
1) В =135,11;
2) В= 189,23;
3) В= 123,00.
4. За даншт задачі № 1 класичним методом обчислити нетто-тариф, коли відомо, що страховий портфель становив 50 договорів. Довірча ймовірність - 98 %.
1) /V=12,58%;
2) ^=10,5%;
3) JV=6,88%.
5. За дсшими задачі № 4 в індивідуальній моделі ризику обчислити нетто-тариф, коли відомо, що страхова сума за кожним з договорів становила 150.
1) N =12.58%;
2) N = 10,5%;
3) N = 6,88%.

 

 << попередня     зміст     наступна >>

polkaknig(at)narod.ru, ICQ - 474849132 © 2005-2009 Матеріали цього сайту можуть бути використані лише з посиланням на даний сайт.