§ 3. Средняя арифметическая :: vuzlib.su
Ищите Господа когда можно найти Его; призывайте Его, когда Он близко. (Библия, книга пророка Исаии 55:6) Узнать больше о Боге
Главная Новости Книги Статьи Реферати Форум
ТЕКСТЫ КНИГ ПРИНАДЛЕЖАТ ИХ АВТОРАМ И РАЗМЕЩЕНЫ ДЛЯ ОЗНАКОМЛЕНИЯ

§ 3. Средняя арифметическая

.

§ 3. Средняя арифметическая

Средняя арифметическая — самый распространенный вид сред­ней величины. Неслучайно, когда речь заходит о средней вели­чине без указания ее вида, подразумевается именно средняя ариф­метическая. Она применяется в тех случаях, когда объем варьи­рующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признака у отдельных единиц совокупности. Ее расчет является наиболее простым: складывают величины всех вариан­тов и делят эту сумму на общее число единиц вариантов.

Предположим, что годовая нагрузка 15 судей городского суда, специализирующихся на рассмотрении гражданских дел различ­ной направленности, составила: 17, 42, 47, 47, 50, 50, 50, 63, 68, 68, 75, 78, 80, 80, 85. Необходимо исчислить среднюю годо­вую нагрузку на одного судью (х - средняя арифметическая) в целях сравнения со средней общефедеральной и краевой (облас­тной, республиканской). Для этого надо сложить значения всех индивидуальных нагрузок (которые обозначим: xv х2, хг ..., хп) и разделить на общее число судей («):

Хцрифн  -

_ х1+х2+х3+...+х„

17 + 42 + 47+47

15

900 15

= 60.

Таким путем мы получили простую среднюю арифметичес­кую величину. В рассматриваемом примере 15 вариант (15 инди­видуальных нагрузок), но они имеют всего лишь 10 значений, так как у некоторых судей нагрузки были одинаковыми: 47 и 47; 50, 50 и 50; 68 и 68; 80 и 80. В этом случае исчислять сред­нюю арифметическую можно проще: перед суммированием ва­риант нужно умножить варианты (х,, хг х3, ...) на соответству­ющее число частот (/J, fv fy ...), затем полученные произведе­ния сложить (!х/) и разделить на общее число судей (If). На­гляднее всего это можно сделать в таблице (табл. 1), в которой число судей распределяется по числу рассмотренных дел, что и представляет собой дискретный (от лат. discretus — прерывис­тый) вариационный ряд.

Таблица   1 Вычисление средней нагрузки судей (по формуле средней арифметической)

Число дел (варианта х)

Число судей (частота/)

Произведение вариант на частоты (xf)

17

1

17 • 1 = 17

42

1

42 • 1 = 42

47

2

47 • 2 = 94

50

3

50 • 3 = 150

63

1

63 • 1 = 63

68

2

68 • 2 = 136

75

1

75 • 1 = 75

78

1

78 • 1 = 78

80

2

80 • 2 = 160

85

1

85 • 1 = 85

£х= 605

£/= 15

Ух = 900

Средняя арифметическая для дискретного вариационного ряда исчисляется по формуле средней арифметической взвешенной. Для нашего примера

Средняя арифметическая взвешенная не имеет принципиаль­ных отличий от простой средней арифметической. В ней сумми­рование одного и того же значения заменено умножением этого значения на его частоту, т. е. в этом случае каждое значение (ва­рианта) взвешивается по частоте встречаемости. Наш пример прост и технические выгоды от применения средней взвешен­ной не так очевидны. Но когда частоты исчисляются сотнями или тысячами, то применение средней взвешенной намного уп­рощает расчет.

При расчете простой средней арифметической часто вовсе не обязательно знать величину каждого индивидуального значения (варианты) или иметь в своем распоряжении построенный на основе этих вариант вариационный ряд. В официальной отчетно­сти юридических учреждений, как правило, уже имеются мно­гие суммарные величины. Это суммирование происходит после­довательно в районах (городах), субъектах Федерации и в центре при сводке и группировке данных, полученных из документов первичного учета.

Открываем отчет о работе прокурора (Ф. П) за 1996 г. В разде­ле 4 (участие прокурора в рассмотрении гражданских и арбитраж­ных дел в судах) в таблице Б (иски (заявления) прокурора) ука­зано, что в 1996 г. прокурорами было предъявлено 170 882 иска на сумму 1 553 749 млн рублей. На основе этих обобщенных данных мы можем сразу рассчитать среднюю арифметическую сумму, приходящуюся на один предъявленный иск (имуще­ственного и неимущественного характера):

Используя другие обобщенные данные, можно рассчитать, что средняя сумма по искам различных видов была:

-  16 270 728 руб. (в имущественных интересах граждан);

-  10 741 826 руб. (в имущественных интересах государства);

-  5 718 097 руб. (связанных с хищениями);

-  4 678 344 руб. (связанных с производственным травма­тизмом);

— 5 840 399 руб. (связанных с незаконными увольнениями); - 17 375 765 руб. (связанных с нарушениями законов об ох­ране природы).

Расчет средней на основе обобщенных в отчетах данных воз­можен и тогда, когда каждое отдельное значение варианты во­обще не фиксируется. Например, средняя урожайность на гектар может быть подсчитана путем деления валового сбора зерна на посевную площадь, хотя никто не подсчитывает урожай на каж­дом гектаре. Этим же способом можно подсчитать среднее число совершенных преступлений на 1 кв. километр или на 10 тыс., 100 тыс. жителей. Последний средний арифметический показатель смыкается с относительным показателем интенсивности преступ­ности (коэффициентом преступности).

В связи с этим можно сказать, что между средними (особен­но средней арифметической) и относительными величинами иногда не существует четких и однозначных границ. И те и дру­гие являются обобщающими. Более того, любая средняя величи­на — это своеобразное отношение двух абсолютных величин, т. е. она одновременно представляет собой и определенную относи­тельную величину (в нашем последнем примере — отношение общей суммы исков к их числу). С другой стороны, любая отно­сительная величина дает своеобразную усредненную характерис­тику явления. Например, отношения динамики дают усреднен­ную характеристику роста или снижения уровня изучаемого яв­ления за анализируемые годы; отношения распределения — ус­редненный удельный вес какого-то показателя в структуре всех показателей и т. д. Однако при этом нельзя не видеть их статис­тически значимых различий, о которых говорилось в понятии о средних.

Некоторые особенности и трудности при расчете средней арифметической имеются для интервального ряда статистичес­ких показателей, т.е., когда индивидуальные численные зна­чения (варианты) сгруппированы в интервалы (от — до). В юри­дической статистике интервальные ряды используются чаще, чем дискретные. Так учитываются сроки наказания, сроки след­ствия, сроки рассмотрения уголовных и гражданских дел, воз­раст правонарушителей и т. д.

В отчете Минюста РФ (Ф. 10) о числе привлеченных к уго­ловной ответственности и мерах уголовного наказания за 1996 г. меры наказания зафиксированы в виде интервального ряда. Попытаемся рассчитать средний срок лишения свободы на одного осужденного за умышленное убийство при отягчающих обстоя­тельствах (табл. 2).

Таблица  2 Вычисление срока наказания за умышленное убийство для интервального ряда

Сроки лишения свободы (х)

Число осуж­денных (/)

Середина интер­валов (/)

Произведение сере­дины интервалов и частоты {/?)

До 1 года

10

0,5

5

Свыше 1 года до 2 лет

3

1,5

4,5

Свыше 2 до 3 лет

16

2,5

40

Свыше 3 до 5 лет

78

4

312

Свыше 5 до 8 лет

516

6,5

3354

Свыше 8 до 10 лет

1259

9

11 331

Свыше 10 до 15 лет

2921

12,5

36 512,5

 

J/= 4803

 

Ifl= 51 559

Если бы ряд был дискретный, то расчет средней можно было бы произвести по формуле средней арифметической взвешенной. Но этого сделать нельзя, так как точные сроки наказания убийц неизвестны. Они обобщены в интервалах «от— до». Это можно сде­лать при одном условии, если допустить, что внутри каждой груп­пы «от— до» сроки лишения свободы распределены равномерно и середина интервала — это среднее значение для данной груп­пы. Середина интервала рассчитывается по формуле средней ариф­метической путем деления на 2 суммы двух границ интервала. К примеру:

8 лет + 10 лет     18 лет    .

В действительности средняя арифметическая середины ин­тервалов может и не отражать среднего значения сроков лише­ния свободы в том или ином интервале. Но другого выхода нет, так как отсутствует учет индивидуальных сроков лишения сво­боды в статистической отчетности судов. Поэтому условно при­няв середину интервалов за среднее значение варианты каждой группы «от— до» (см. графу 3 табл. 2), мы можем рассчитать средний срок лишения свободы для убийц по формуле средней взве­шенной:

 

При расчете средней арифметической для интервального ряда встречается и другая трудность, когда у первой группы может не быть нижней границы интервала (в нашем примере — до 1 года, а нижний предел не указан), у последней группы может, не быть верхней границы интервала (например, свыше 10 лет, а верхний предел также не указан). При таких неопределенных интервалах их границы либо устанавливают произвольно, либо определяют их на основе дополнительных изучений. В нашем примере можно обратиться к ст. 56 УК РФ, где установлен ми­нимальный (шесть месяцев) и максимальный (20 лет) сроки лишения свободы.

Мы живем во время, когда компьютер становится неотъем­лемым аппаратом любой аналитической деятельности. В этих ус­ловиях исчисление любых средних величин упрощается путем ис­пользования необходимых компьютерных программ. Тем не ме­нее, мы подробно излагаем технику вычисления, полагая, что любой юрист (практик или ученый) должен понимать сущность производимых расчетов и уметь их произвести любым доступным способом. С целью упрощения таких расчетов можно использо­вать некоторые свойства средней арифметической, которые мы приводим без доказательств.

1.  Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты, т. е. xLf= Ixf. В первом нашем примере: 60 дел • 15 судей = 900.

2.  Если от каждой варианты отнять (или прибавить к ней) одно и то же число, то новая средняя уменьшится (или увели­чится) на то же число. Это означает, что в целях упрощения рас­четов можно уменьшить на произвольное число все варианты, рассчитать среднюю и, прибавив к ней то самое произвольное число, получить ее реальную величину.

3.  Если каждую варианту разделить (или умножить) на какое-либо произвольное число, то средняя арифметическая уменьшится (или увеличится) во столько же раз. Это правило также можно использовать для облегчения расчетов средней арифметической.

259

4.  Если все частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится. Это обусловлено тем, что частоты при исчислении средней ариф­метической имеют значение веса не как абсолютные данные, а как удельные веса вариант в вариационном ряду. Поэтому и при увеличении, и при уменьшении в одинаковой степени их доли в вариационном ряду не меняются.

5. Сумма отклонений вариант от средней арифметической все­гда равна нулю. Иначе это свойство формулируется следующим образом: сумма положительных отклонений от средней равна сум­ме отрицательных отклонений, т. е. в средней арифметической и положительные, и отрицательные отклонения от нее взаимопогашаются. Вспомним кривую Лапласа—Гаусса, кривую нормаль­ного распределения данных около средней.

6.  Общая средняя равна средней из частных средних, взве­шенной по численности соответствующих частей совокупности. Если известно, что среднее число уголовных дел, приходящихся на одного следователя в год в одном субъекте Федерации, рав­но 68, в другом — 72, в третьем — 74, причем в первом числится 180 следователей, во втором — 160, а в третьем — 150, то общую среднюю для региона можно подсчитать таким образом:

34860

_ 68-180 + 72-160 + 74 150 180 + 160 + 150

490

• = 71,1 дел.

.

Назад

Главная Новости Книги Статьи Реферати Форум
 
 
 
polkaknig@narod.ru © 2005-2006 Матеріали цього сайту можуть бути використані лише з посиланням на даний сайт.