Динамика и максимизация :: vuzlib.su

Динамика и максимизация :: vuzlib.su

38
0

ТЕКСТЫ КНИГ ПРИНАДЛЕЖАТ ИХ АВТОРАМ И РАЗМЕЩЕНЫ ДЛЯ ОЗНАКОМЛЕНИЯ


Динамика и максимизация

.

Динамика и максимизация

Естественно, из этого не следует, что с помощью максимизации
нельзя исследовать широкую область динамических процессов. Так, например,
рассмотрим динамический алгоритм нахождения верши­ны горы, который реализуется
с помощью «градиентного метода». Его идея заключается в том, что ваша
скорость в каком-либо на­правлении пропорциональна наклону горы в том же самом
направ­лении. Нельзя рассчитывать, что такой метод приведет вас на высо­чайшую
вершину Альп из любой начальной точки, находящейся в Европе. Однако он сходится
к точке максимума любой вогнутой по­верхности из тех, что фигурируют в школьных
учебниках.

Подобно световым лучам в физике, о которых я говорил ранее,
оптимальные траектории роста в теориях, выросших из новатор­ской работы Фрэнка
Рамсея, появившейся более сорока лет тому назад (Ramsey, 1928), сами по себе
демонстрируют богатство дина­мических явлений. Такая динамика совсем не похожа,
скажем, на ту, которая составила предмет позитивистского анализа связи аксе­лератора
с мультипликатором. Может быть, вы помните, что сэр Уильям Гамильтон затратил
много лет, пытаясь обобщить понятие комплексного числа на случай более чем двух
измерений. Рассказы­вают, что его семья с сочувствием относилась к его
исследованиям кватерниона, и каждый вечер дети приветствовали его по возвра­щении
из астрономической обсерватории вопросом: «Папа, ты уме­ешь перемножать
свои кватернионы?» лишь для того, чтобы полу­чить грустный ответ: «Я
умею складывать мои кватернионы, но я не умею их перемножать». Если бы в
30-е годы Ллойд Метцлер и я имели детей, они каждый вечер спрашивали бы нас:
«Все ли ваши характеристические корни вели себя хорошо и были
устойчивы?» Ибо в те дни, находясь под впечатлением затянувшейся Американ­ской
Депрессии и ее нечувствительности к эфемерным государствен­ным дотациям, мы
были в какой-то мере во власти догмы устойчи­вости.

Совершенно иными были мои главные интересы в течение 50-х
годов, когда я занимался бесплодными поисками доказательства так называемой
«теоремы о магистрали» (Samuelson 1949a, 1960а, 1968b, Samuelson and
Solow, 1956; Dorfman, Samuelson and Solow, 1958). Здесь речь тоже идет о модели
максимизации, по крайней мере в смысле межвременной эффективности. Когда вы
изучаете модель «затраты-выпуск» фон Неймана, вы сталкиваетесь с
задачей на­хождения минимакса, или седловой точки, подобной той, которая
рассматривается в его же теории игр. Это исключает возможность того, что ваши
динамические характеристические корни будут демп­фироваться. Так что если бы
мои дети не относились к моей науч­ной работе с тем чувством, которое можно
назвать «снисходительным пренебрежением», то в 50-х годах они должны
были бы спрашивать меня «Папа, образуют твои характеристические корни
взаимно об­ратные или противоположные по знаку пары, соответствующие дви­жению
по цепной линии вокруг магистральной седловой точки?»

Могу ли я попросить вас о снисхождении? Позвольте мне откло­ниться
от темы и рассказать один анекдот. Я делаю это с некоторым смущением, потому
что, когда меня приглашали прочитать лекцию, профессор Лундберг предупредил,
что это должна быть серьезная лекция. Хотя и говорят, что я был нахальным
молодым человеком, у меня было только одно столкновение с великим Джоном фон
Нейма­ном, который, конечно, был гигантом современной математики и, кроме того,
проявил свою гениальность в работе над водородной бомбой, теорией игр и
основами квантовой механики. Ради того, чтобы дать представление о его величии,
я готов даже с еще большим бесстыдством бросить вызов профессору Лундбергу и
рассказать вам анекдот в анекдоте. Кто-то однажды спросил великого йельского
математика Какутани: «Вы великий математик?» Какутани скромно
ответил: «О, вовсе нет. Я — рядовой трудяга, искатель истины» —
«Ну, если вы не великий математик, то кого бы вы назвали тако­вым?» —
спросили его. Какутани думал, думал, а затем, как гласит предание, наконец
сказал «Джонни фон Неймана».

И вот с этим Голиафом у меня произошло столкновение. Как-то,
а это было в 1945 г., фон Нейман читал лекцию в Гарварде о своей модели общего
равновесия. Он заявил, что в ней используется но­вый математический аппарат, не
связанный с традиционным мате­матическим аппаратом физики и теорией
экстремумов. Я подал го­лос из задних рядов, сказав, что это вовсе не
отличается от понятия границы издержек упущенной выгоды, используемого в
экономи­ческой теории, когда при фиксированных количествах всех ресур­сов и
всех, кроме одного, продуктов общество стремится максими­зировать объем выпуска
остающегося продукта. Фон Нейман отреа­гировал на это с быстротой молнии, что
было для него характерным: «Вы можете держать пари на одну сигару?» К
стыду своему, дол­жен сказать, что в этот раз маленький Давид, поджав хвост,
бежал с поля боя. И все же когда-нибудь, когда я войду в ворота Святого Петра,
я думаю, что половина сигары мне достанется, но только половина, потому что
точка зрения фон Неймана также была обоснованной.

Беглый просмотр современных журналов и учебников показы­вает,
что, в то время как студент, изучающий классическую меха­нику, часто
сталкивается со случаями колебаний около положения равновесия (например,
маятника), студент-экономист чаще имеет дело с движениями по цепной линии около
седловой точки: подобно тому как канат, подвешенный на двух гвоздях, принимает
форму цепной линии, выпуклой в сторону земли, так и экономические дви­жения
совершаются вдоль цепной линии, выпуклой в сторону магистрали. Я хотел бы здесь
напомнить о происхождении слова «маги­страль» (Turnpike). Все
американцы привыкли к тому, что если нужно попасть из Бостона в Лос-Анджелес,
то лучше всего побыстрее до­ехать до главной магистрали и только в конце
путешествия нужно свернуть с нее к пункту назначения. Так же и в экономике для
того чтобы обеспечить наиболее эффективное развитие страны, при оп­ределенных
обстоятельствах следует как можно быстрее вступить на путь максимального и
сбалансированного роста, так сказать, «оседлать» эту магистраль, а
затем, по окончании, например, 20-летнего периода, свернуть к конечной цели
развития. Здесь мы сталкиваем­ся с интересным эффектом: когда горизонт
становится широким, вы проводите большую часть своего времени в пределах малого
расстоя­ния от магистрали. Все, больше я не буду произносить это слово, на
котором можно сломать язык.

.

Назад

НЕТ КОММЕНТАРИЕВ

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ