Пример из области экономики :: vuzlib.su

Пример из области экономики :: vuzlib.su

77
0

ТЕКСТЫ КНИГ ПРИНАДЛЕЖАТ ИХ АВТОРАМ И РАЗМЕЩЕНЫ ДЛЯ ОЗНАКОМЛЕНИЯ


Пример из области экономики

.

Пример из области экономики

Позвольте мне показать то же самое применительно к экономи­ке,
взяв в качестве примера простейший случай. Рассмотрим фир­му, стремящуюся к
максимизации своей прибыли, которая продаёт продукцию в соответствии с кривой
спроса, причём цена является невозрастающей функцией продаваемого количества.
Предположим далее, что для выпуска продукции необходимо затратить один, два или
девяносто девять видов различных ресурсов. Ради простоты будем считать, что
производственная функция, связывающая объё­мы затрат и выпуска, является
гладкой и вогнутой.

Экономист, мыслящий в стиле Маха, будучи учёным-позити­вистом,
заинтересованным попросту в регистрации и систематизации наблюдаемых фактов,
мог бы в принципе перенести на перфо­карты информацию о 99 функциях спроса,
связывающих количе­ство каждого ресурса, покупаемого фирмой, с 99 переменными,
от­ражающими цены на ресурсы. Какой, колоссальной задачей было бы хранение
массивов информации, определяющих 99 различных поверхностей в стомерном
пространстве! Однако на самом деле 99 поверхностей не являются независимыми. В
действительности доста­точно знать единственную «родительскую»
поверхность, для того чтобы иметь возможность получить путём расчётов точную
инфор­мацию о 99 «детях». Каким же образом становится возможной такая
громадная экономия в описании? Да в силу того факта, что наблю­даемые кривые
спроса, которые великий шведский экономист пред­последнего поколения Густав
Кассель считал неделимыми атомами в теоретическом арсенале экономиста, в
действительности являют­ся решениями задачи максимизации прибыли! При обычных
усло­виях регулярности эти решения представляют собой функции, об­ратные
семейству частных производных функции совокупного до­хода, который определяется
как произведение объёма продукции (при данных объёмах затрат всех ресурсов) на
цену спроса, по кото­рой эта продукция будет продана. При условии гладкости и
строгой вогнутости эта «родительская» функция дохода имеет своими
«деть­ми» матрицу частных производных второго порядка размерности
99х99, которая является симметричной и отрицательно определен­ной. Легко
доказать, что эти функции могут быть однозначно обра­щены в форму нового
семейства «детей» с теми же самыми свой­ствами. 99 таких
«детей» не могут не иметь «родительской» функ­ции, которую,
если бы она никогда не существовала, мы должны были бы создать, подобно
Пигмалиону. Математически это выглядит так:

где

— гладкая, строго вогнутая «регулярная функция дохода.
Необхо­димыми условиями максимума будут

Если, кроме того, матрица Гесса вторых частных производных
является отрицательно определённой,, то уравнений (2) достаточно для максимума.
Отсюда вытекают обратные соотношения, которые могут интерпретироваться как
частные производные сопряженной функции Хотеллинга-Роя Н., а именно:

Отсюда следует, что при

наши переменные удовлетворяют неравенству

Можно сказать и больше. Хотя мне трудно представить себе
характер поверхностей даже в трёхмерном пространстве, я могу уверенно заявить
на основе вышесказанного, что повышение цены на любой ресурс при сохранении остальных
цен постоянными опре­делённо приведёт к снижению спроса на этот ресурс со
стороны фирмы, т.е. дvi / дрi < 0. Такой банальный результат мог бы пред­видеть любой, кто вникнет в ситуацию и спросит себя' "Предпо­ложим, я был бы последним простаком среди предпринимателей. Что я стал бы делать, чтобы сохранить по возможности большую прибыль в случае подорожания одного из ресурсов?

Здесь здравый смысл и высшая математика оказываются в со­гласии.
Однако все мы знаем о парадоксе Гиффена, в соответствии с которым повышение
цены на картофель — основную еду бедных ирландских крестьян — может снизить их
жизненный уровень на­столько, что заставит покупать скорее больше, чем меньше
картофеля. В этом случае сам здравый смысл обнаруживается только под про­жектором
математики.

С помощью математики я могу видеть свойство 99-мерных по­верхностей,
скрытое от простого глаза. Если повышение цены удоб­рений (только их одних)
всегда приводит к увеличению закупок некоей фирмой чёрной икры, то из одного
этого факта я могу пред­сказать результат следующего эксперимента, который
никогда не проводил сам и по которому не располагаю никакими данными на­блюдений:
повышение цены на одну только икру приведет к росту закупок фирмой удобрений. В
термодинамике такие условия вза­имности или интегрируемости известны как
условия Максвелла. В экономике они известны как условия Хотеллинга — в честь
Гароль­да Хотеллинга, сформулировавшего их в 1932 г. (Hotelling, 1932).

Одна из привлекательных сторон научной деятельности состоит
в том, что мы все карабкаемся на небеса на плечах своих предшест­венников.
Экономика, подобно физике, имеет своих героев, и букву «Н» я
использовал в своих математических уравнениях не в честь сэра Уильяма
Гамильтона (Hamilton), а скорее в честь Гарольда Хотеллинга (Hotelhng). Ведь
именно его работа столь сильно вдох­новляла меня, когда я начинал свою карьеру
Примерно в это же время покойный Генри Шульц пытался эконометрическими метода­ми
проверить соответствие условии интегрируемости Хотеллинга эмпирическим данным
(Schultz, 1938).

Имеются еще и другие предсказуемые условия определенности,
касающиеся того, насколько описанные «перекрестные эффекты» должны
быть слабыми по сравнению с «собственными эффектами» повышения цен,
однако я не буду отнимать у аудитории время на их обсуждение. Упомяну лишь об
одном условии: знаки всех глав­ных миноров должны чередоваться.

В качестве последней иллюстрации черной магии, посредством
которой формула максимума позволяет получить четкие выводы от­носительно
сложной системы с большим числом переменных, по­звольте напомнить о работах, в
которых я сформулировал и обоб­щил принцип, известный в физике как принцип Ле
Шателье (Samuelson, 1947, 1958, 1960а). Этот принцип был обнародован почти сто
лет тому назад французским физиком, который занимался тер­модинамикой, развивая
в ней направление, связанное с именем Гиббса. Принцип не отличается большой
ясностью. Треть века тому на­зад, когда я зачитывался различными трактатами по
физике, мое математическое ухо не могло различить, какую мелодию в них играют.
Если вы сегодня возьмете большинство книг по физике, возможно, вас постигнет та
же участь. Обычно в них используются невразуми­тельные телеологические
аргументы. Например, можно прочесть нечто подобное: «Если вы наложите
внешнее ограничение на систе­му, находящуюся в равновесии, то она перейдет в
новое состояние равновесия, позволяющее поглотить изменение» (или
«противодейст­вовать ему», или «подстроиться под него» или
«минимизировать его»).

В свое время я был поражен замечанием, сделанным одним из
моих преподавателей в Гарварде, Эвином Бидвеллом Уилсоном Уилсон учился у
Уилларда Гиббса в Йеле и плодотворно работал во многих областях математики и
физики. Его учебник высшей математики использовался как стандартное пособие в
течение десятиле­тий. Ему принадлежит капитальная доработка лекций Гиббса по
векторному анализу. Он написал один из первых учебников по аэро­динамике. Он
был другом Р. А. Фишера и экспертом по математиче­ской статистике и демографии.
Наконец, он рано заинтересовался работами Парето и стал читать лекции по
математической экономи­ке в Гарварде. Моя более ранняя формулировка неравенства
(4) появилась в значительной мере благодаря лекциям Уилсона по тер­модинамике.
В частности, на меня сильное впечатление произвело его заявление, что тот факт,
что повышение давления сопровожда­ется уменьшением объема, — не столько теорема
о системе термо­динамического равновесия, сколько математическая теорема о
вогну­тых вверх поверхностях или отрицательно определенных квадратич­ных
формах. Вооружившись этими сведениями, я вознамерился ос­мыслить принцип Ле
Шателье.

Позвольте мне привести общепринятую формулировку этого
принципа. «Сожмите резиновый шар, и его объем уменьшится. Срав­ните,
однако, как сокращается его объем при двух разных условиях эксперимента. Сначала
представьте себе, что его поверхность изолирована от окружающего мира, так что
так называемая порожден­ная теплота не может теряться. Во втором случае снова
сожмите резиновый шар, однако пусть его температура уравняется с темпе­ратурой
в помещении. Тогда, в соответствии с принципом Ле Шате­лье, сокращение объема в
случае, когда система изолирована, будет меньшим, чем во втором случае, когда
температура в конце концов станет постоянной». Более круто нисходящая
кривая (тонкая ли­ния) на рис. 2 показывает связь между давлением,
откладываемым по вертикальной оси, и объемом, откладываемым по горизонтальной
оси, которая превалирует при увеличении давления в условиях изо­ляции. Более
пологая кривая (жирная линия), проходящая через ту же точку А, показывает связь
давления и объема при изотермиче­ском измерении. Сущность принципа Ле Шателье
заключается имен­но в том, что тонкая кривая должна быть более крутой, чем
жирная кривая. Используя принятые в термодинамике обозначения, можно записать:

где индекс t означает постоянство температуры, a s
показывает, что речь идет об изолированном (адиабатическом или изоэнтропическом
изменении.

Рис. 2

Но какое отношение все это имеет к экономике? Воистину, нет
более трагической фигуры, чем экономист или бывший инженер, пытающиеся
вымучивать аналогии между понятиями физики и эко­номики. Сколько же довелось
мне прочесть скучнейших страниц, на которых автор занимался поиском в экономике
чего-то такого, что соответствует энтропии или тому или иному виду энергии! Бес­смысленные
«законы», такие, как «закон сохранения покупательной
способности», представляют собой сомнительное подражание важ­ному
физическому закону сохранения энергии. А когда экономист ссылается на принцип
неопределенности Гейзенберга применительно к миру социальных явлений, это в
лучшем случае следует рассмат­ривать как оборот речи или как игру слов, а не
как правомерное применение соотношений квантовой механики.

Однако если в качестве примера максимизирующей системы вы
возьмете фирму-монополиста, использующую 99 видов ресурсов, то окажется, что
можно увязать ее структурные связи с теми, которые превалируют в
термодинамической системе, максимизирующей энт­ропию. Давление и объем, а для
данного случая — абсолютная тем­пература и энтропия, связаны друг с другом тем же
отношением сопряженности или двойственности, что и ставка заработной платы с
количеством труда или земельная рента с земельной площадью. Рис. 2 теперь может
выполнять двойную службу, описывая эконо­мические связи в точности так же, как
он описьшал связи термоди­намические. Теперь по вертикальной оси откладывается
р1, — цена первого ресурса. По горизонтальной оси откладывается объем этого
ресурса v1. Здесь можно говорить о системе с 99 переменными, но я надеюсь, что
вы простите мне, если я буду рассматривать более простой случай двух
переменных, скажем, труда и земли.

Как и в случае резинового шара, мы представим себе экспери­мент
при двух различных условиях. В первом случае мы повышаем цену первого ресурса
(труда) р1, зафиксировав на постоянном уров­не объем второго ресурса (земли)
v1, как, например, в краткосроч­ном случае, рассмотренном Маршаллом, когда
может меняться только предложение труда.

Наклон тонкой кривой, проходящей через точку А, показывает,
что рост р1 влечет за собой снижение v1.

Во втором случае мы повысим р1 на ту же величину, но сохра­ним
на прежнем уровне р2. И снова у монополиста, максимизирующего прибыль, в
качественном плане может быть только одна реак­ция: будет закуплен меньший
объем v1, как это показывает от­рицательный наклон жирной кривой, проходящей
через точку А. Теперь можно сформулировать некое утверждение, которое можно
назвать принципом Ле Шателье-Самуэльсона: жирная кривая дол­говременного
приспособления при постоянной цене второго ресурса (и, конечно, при объеме
закупок второго ресурса, mutatis mutandis, измененном так, чтобы восстановить
равновесие, отвечающее мак­симуму прибыли) должна иметь менее крутой наклон или
большую эластичность, чем тонкая кривая, описывающая реакцию со сторо­ны
спроса, когда объем затрат второго ресурса зафиксирован. Ма­тематически это
означает, что

Я включил знаки равенства, чтобы учесть случай, когда объемы
потребления двух ресурсов в производстве могут быть полностью независимы. В
этом соотношении примечательно то, что указанные неравенства будут выполняться
вне зависимости от того, будут ли эти два ресурса взаимными дополнителями, как,
например, насосы для распыления удобрений и инсектициды, или субститутами,
такими как органические и минеральные удобрения. Если это заинтересует
слушателя, то он может попробовать привести интуитивную проверку данного
утверждения в указанных противоположных случаях.

Принцип Ле Шателье находит разнообразное применение не
только в теории производства, но и в общей теории ограниченного рационирования.

.

Назад

НЕТ КОММЕНТАРИЕВ

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ